Да, если у сотрудника есть бумажная трудовая книжка (и он не отказался от её ведения), работодатель должен вносить в неё все необходимые записи. При приёме на работу работодатель либо заводит новую книжку (если у вас её не было ранее), либо продолжает вашу старую, внося запись о приёме. Все записи делаются аккуратно, без сокращений, заверяются печатью организации и подписью ответственного лица. Хранится трудовая книжка в отделе кадров, а при увольнении вам её возвращают в день увольнения с внесённой записью об увольнении. С 2020 года вы могли написать заявление о переходе на электронную трудовую книжку – тогда бумажную вам выдают на руки и новые записи в неё не вносят, всё ведётся в цифровом виде. Но если вы сохранили бумажную – работодатель обязан её вести.
Ссылка на закон: ТК РФ, статья 66